Horizontes. Revista de Investigación en Ciencias de la Educación
https://doi.org/10.33996/revistahorizontes.v6i24.387
Volumen 6 / No. 24, Edición Extraordinaria
junio 2022
ISSN: 2616-7964
ISSN-L: 2616-7964
pp. 933 – 946
Diseño de una actividad formativa para
futuros profesores de matemáticas sobre construcciones euclidianas con GeoGebra
Design of a teaching activity for future
mathematics teachers on Euclidean constructions with GeoGebra
Desenho de uma atividade de formação
para futuros professores de matemática em construções euclidianas com GeoGebra
Irene V. Sánchez Noroño
irsanchez@unap.cl
https://orcid.org/0000-0001-9176-0125
Universidad Arturo Prat.
Iquique, Chile
Juan Luis Prieto G.
juanl.prietog@gmail.com
https://orcid.org/0000-0003-0798-5191
Aprender en Red. Maracaibo,
Venezuela
Artículo
recibido el 30 de agosto 2021 | Aceptado el 30 de mayo 2022 | Publicado el 30
de junio 2022
RESUMEN
El presente manuscrito describe los elementos del diseño de una
actividad formativa sobre construcciones euclidianas con GeoGebra.
La
actividad formativa se sustenta en la idea de aprendizaje que propone la Teoría
de la Objetivación, una teoría histórico cultural de
la enseñanza y aprendizaje de la matemática, la cual se complementa con el
concepto de Actividad de Leontiev. Al concatenar
estas ideas emergen los elementos que estructuran la actividad formativa. Los
elementos de la actividad se orientan a movilizar determinados saberes
geométricos, en atención a la resolución de las tareas de construcción
euclidianas con GeoGebra. El diseño de la actividad
formativa representa un primer paso para conocer el rol que desempeñan artefactos
digitales, como el GeoGebra, en el aprendizaje
geométrico.
Palabras
clave:
Aprendizaje; Actividad; Formación de profesores; Geometría; Teoría de la
Objetivación
ABSTRACT
This manuscript describes the design elements of a training activity on
Euclidean constructions with GeoGebra. The training
activity is based on the idea of learning proposed by the Objectivation
Theory, a cultural-historical theory of the teaching-learning of mathematics,
which is complemented by the concept of Leontiev's Activity.
By concatenating these ideas, the elements that structure the training activity
emerge. The elements of the activity are aimed at mobilizing certain geometric
knowledge, in attention to the resolution of Euclidean construction tasks with GeoGebra. The design of the training activity represents a
first step to understand the role played by digital artifacts, such as GeoGebra, in geometric learning.
Key words: Learning; Exercise; Teacher training; Geometry; Objectification Theory
Este manuscrito descreve os elementos de design de uma atividade de
treinamento sobre construções euclidianas com o GeoGebra. A atividade formativa é baseada na ideia de
aprendizagem proposta pela Teoria da Objetivação, uma teoria histórico-cultural
do ensino-aprendizagem da matemática, que é complementada pelo conceito de
Atividade de Leontiev. Ao concatenar essas ideias,
emergem os elementos que estruturam a atividade formativa. Os elementos da
atividade visam mobilizar determinados conhecimentos geométricos, em atenção à
resolução de tarefas de construção euclidiana com o GeoGebra. O desenho da atividade de treinamento
representa um primeiro passo para entender o papel desempenhado por artefatos
digitais, como o GeoGebra,
na aprendizagem geométrica.
Palavras-chave: Aprendizagem; Exercício; Formação de professores; Geometria; Teoria da Objetivação
INTRODUCCIÓN
Uno de los temas que ha interesado a quienes investigan la
formación del profesorado de matemáticas se refiere al aprendizaje del futuro
profesor (Cameron et al., 2013; Goos, 2013; Llinares y Valls, 2009; Prieto y Valls, 2010; Ribeiro y da
Ponte, 2019; Towers, 2010). Con respecto a este
fenómeno, los investigadores han sentido la necesidad de comprender tanto la
naturaleza, origen y fuentes del saber que los futuros profesores de
matemáticas requieren aprender durante su formación universitaria para hacer
frente a las demandas del sistema educativo (Vezub,
2016), como los procesos de producción de este saber en la actividad formativa
(Depaepe et al., 2013; Neubrand,
2018; Valente, 2017). En la atención de esta necesidad ha surgido una línea de
trabajo centrada en la producción de algunos principios teóricos (materiales y
simbólicos) y de formas de usar estos principios en la formación de profesores
para provocar el aprendizaje matemático y/o didáctico en los futuros profesores
(Llinares, 2014; Tirosh y
Wood, 2008), lo cual ha derivado en el reconocimiento del saber docente.
A lo interno del campo, el tema de los saberes docentes, necesarios
en la formación inicial de profesores de matemática, es amplio y controvertido.
Sin embargo, Tardif (2002) converge en que estos
saberes son plurales y no acabados, es decir, se alimentan continuamente desde
la formación y en el desarrollo profesional. Entre esta pluralidad de saberes se
encuentran los disciplinares, los cuales están en correspondencia con las áreas
de estudio de la matemática, incluyendo los saberes geométricos. Los saberes
geométricos, como componente disciplinar de los saberes docentes pueden
considerarse ancestrales, ya que los registros históricos dan cuenta de su
existencia desde la antigua Babilonia, unos 6000 a.C. Uno de los primeros usos
que hizo el hombre de los saberes geométricos fue a través de la medición de
terrenos, lo que da origen a la geometría. La medición de terrenos fue una de
las situaciones que permitió la movilización del saber en el tiempo, pero no
fue la única. Llegado su momento, la geometría evolucionó en modos sofisticados
de pensar geométricamente, siendo las demostraciones (modelo axiomático) y
construcciones geométricas las formas por excelencia que movilizaban
el saber.
Las construcciones geométricas tenían su particularidad, y es
que demandan del uso de ciertos artefactos materiales como la regla y compás (R
y C, en adelante), los cuales eran consustanciales del saber. Durante muchos
años, éstos fueron los únicos artefactos empleados en las construcciones
geométricas, con ciertas variaciones (en el caso de la regla paso de ser no
graduada a graduada según determinados sistemas de medición), pero en esencia
eran los mismos. En la década de los 90´s, con el auge y desarrollo de las
tecnologías digitales, inicio la creación de Artefactos Digitales (ADs) destinados a la enseñanza y aprendizaje de la geometría,
y de la matemática en general, que hacían posible potenciar el estudio de la
geometría. Muy a pesar de las ventajas y oportunidades que pueden ser
promovidas con los ADs, su integración eficiente y
permanente en las actividades de enseñanza y aprendizaje continúan siendo
complejas y por demás polémica, aunque se cuente con estos artefactos en las
escuelas (Acosta, 2007; Rojano, 2014).
Entre las razones por las cuales un profesor puede optar por
descartar los ADs como artefactos legítimos de la
actividad del aula se encuentran, por un lado, la visión de los profesores
sobre sus estudiantes, la cultura institucional y el rol de estos ADs en la enseñanza y, por otro lado, la rigurosa
estructura escolar, en relación a los horarios y responsabilidades del
profesor, así como la organización de los espacios que terminar por alejar a
este sujeto de la posibilidad de utilizar ADs (Goos, 2014). Mientras que aquellos profesores que emplean ADs lo hacen de forma restrictiva, subutilizando estos recursos
para cálculos rápidos y confiables o para realizar representaciones más
estéticas que con otros artefactos, pero las actividades del aula siguen siendo
las mismas (Buckingham, 2006; Villareal, 2012).
Por lo anterior, se afirma el protagonismo del profesor para
dar validez y legitimidad a estos artefactos en las actividades de enseñanza y aprendizaje
(Hoyles y Lagrange, 2010).
Dicha situación convoca a los formadores de profesores de matemáticas a
promover actividades formativas desde las cuales los futuros profesores puedan
reflexionar sobre las transformaciones que se derivan al trabajar geometría con
ADs, la naturaleza de la actividad, el rol del
profesor y el alumno cuando se involucran estos ADs y
otras situaciones, de modo que puedan superar la visión simplista que predomina
en torno a estos artefactos como un mero amplificador del contenido. Un estudio
de revisión de literatura realizado por Santana y Gómez (2019) mostró que
aquellos profesores de matemática que utilizaban ADs
en su práctica se debía a que durante su formación
habían tenido experiencias en torno a éstos. Esto sugiere que en la formación inicial
se cimientan una parte de las metodologías y actividades de trabajo que los
futuros profesores emplearán en sus clases.
Con la intención de acercar al futuro profesor con la
realidad escolar que le espera, el presente trabajo describe el diseño de una
actividad formativa que busca promover el aprendizaje de saberes geométricos en
futuros profesores de matemática y física, involucrados en la resolución
conjunta de tareas de construcciones euclidianas con GeoGebra.
El trabajo se enmarca en un proyecto de investigación más amplio que buscar
analizar el rol que desempeña el Software de Geometría Dinámica (SGD) en el desarrollo
del pensamiento geométrico de profesores y futuros profesores de matemáticas de
la región de Tarapacá (Chile), quienes participan en actividades de formación
especialmente diseñadas para tal fin.
La Construcciones euclidianas con geogebra como saber necesario para la enseñanza de la
geometría constituye la emergencia de la perspectiva sociocultural en el campo de
la Educación Matemática ha favorecido la ampliación y diversificación de
teorías acerca de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas desde
diferentes enfoques. Una de estas teorías, de corte histórico-cultural, se
conoce con el nombre de Teoría de la Objetivación (TO) (Radford,
2006; 2014; 2020). En la TO, el compromiso de la Educación en general, y de la
Educación Matemática, en particular, no está exclusivamente del lado del
contenido disciplinar (saber), sino que integra de manera especial la formación
del sujeto (ser) que aprende, como dos aspectos que no pueden desligarse uno
del otro, ya que se nutren, acompañan y retroalimentan permanentemente.
En cuanto al saber, la TO le define como “una síntesis de
procesos corpóreos, sensibles y materiales de acción y reflexión, constituidos
histórica y culturalmente” (Radford, 2020, p. 16).
Visto así, el saber no se considera como un producto terminado, sino como un
proceso social e histórico, por ende, inacabado en el tiempo, que favorece la
transformación del saber de cultura en cultura, según las necesidades y
requerimientos de la época en que se vive. La idea del saber cómo proceso
social e histórico es clave en la TO, pues ayuda a entender que la actividad
humana es la forma por excelencia que tienen los individuos de materializar el
saber en la realidad concreta; esto por medio de las acciones, reflexiones,
sufrimientos y esperanzas de quienes se involucran en la actividad (Radford, 2017a).
En la actividad, los artefactos culturales juegan un papel
fundamental en tanto son consustanciales del pensamiento humano y no simples
medios o amplificadores. Los artefactos que entran en juego en la actividad
tienen la huella del saber que la humanidad ha depositado en ellos,
favoreciendo en su uso las posibilidades de expresión, acción y pensamiento de
los sujetos. Por ejemplo, en la antigua Babilonia (6000 a.C.), el saber
geométrico se constituía alrededor de la medición de terrenos y el cálculo de
área y volumen, para lo cual los sujetos de esa época hacían uso de cuerdas y
estacas como artefactos culturales que les permitían materializar la medición
como saber en la práctica concreta, lo que más tarde se llamó geometría
práctica. A partir de lo anterior, es posible afirmar que el saber geométrico
comprende esas síntesis o esquemas prototípicos de expresión, acción y
pensamiento a las que recurren los individuos para reflexionar, plantear y
resolver problemas geométricos de determinada manera, y han ido evolucionando
de forma progresiva a lo largo del tiempo. Un tipo de problema geométrico
clásico de la antigüedad y que aún tiene vigencia en el currículo de
matemáticas de muchos países, incluyendo Chile, son las construcciones con
regla y compás.
Estas construcciones, fueron promovidas por Euclides en su
libro los “Elementos”, en el cual propone dos tipos de problemas (demostraciones
y construcciones con regla y compás), los cuales sientan las bases del método
axiomático y/o pensamiento hipotético-deductivo que conocemos actualmente. En
los problemas de construcción, se podían distinguir tres partes. La primera era
el enunciado del problema, llamada explicación de la proposición. La segunda parte,
llamada operación, incluía la solución del problema, es decir, la construcción
del objeto geométrico que se demanda. La tercera parte consistía en la
argumentación que justifica la validez del objeto construido, denominada
demostración. En estos tipos de problemas, la regla (sin marcas) era portadora
de una conceptualización que permitió a los geómetras griegos trazar segmentos
–de recta- a partir de dos puntos cualesquiera. Y, el compás (colapsable) fue usado por estos sujetos para materializar
la definición de circulo dado su centro y un radio (Euclides, 1991).
Durante muchos años estos artefactos (reglas y compás)
permanecieron inertes en las construcciones geométricas, sin embargo, la
llegada de la tecnología digital al campo de la Educación Matemática ha creado
condiciones para nuevas formas de aproximación a los saberes geométricos y un
cambio sustancial de la actividad de enseñanza y aprendizaje (en algunos de sus
aspectos). Desde finales del siglo pasado, la geometría euclidiana ha
experimentado estas transformaciones como consecuencia del uso de los SGD en la
actividad del aula (Artigue, 2002, 2012; Laborde, 1997). Un SGD es un artefacto
semiótico que muestra su potencial en la forma cómo éste permite diferenciar
entre objeto geométrico (representado) y dibujo (representante), mediante la
manipulación directa que se puede hacer sobre el dibujo, lo que permite
comprobar que las invariantes geométricas se conservan (Sandoval y
Moreno-Armella, 2012). Cuando esto ocurre, se está en presencia de un dibujo
dinámico.
Al hacer uso de un SGD, los estudiantes tienen la posibilidad
de pensar y actuar en términos geométricos, según la configuración de este
artefacto, lo que deriva en cierta lógica de funcionamiento que es particular
de cada software. A su vez, el SGD promueve ciertas interacciones humanas que
determinan los modos y formas de producción que se desarrollan (Radford, 2006). En particular, el GeoGebra,
un tipo de SGD, presenta al usuario la posibilidad de pensar en términos
geométricos a través de herramientas y funcionalidades dinámicas las cuales encapsulan
y portan el contenido conceptual (Sánchez-S. y Prieto, 2019). Esta forma, en la
que presenta el GeoGebra el contenido conceptual, no
garantiza que el saber geométrico sea aparente por sí solo, tal como se ha
venido comentando es necesario que éste (artefacto) sea incorporado en una
actividad permita movilizar tales conceptualizaciones
Tal como se ha comentado, las construcciones con regla y
compás, llamadas de aquí en adelante construcciones euclidianas, constituyen un
saber geométrico esencial en el estudio de la geometría y su enseñanza que
merece ser estudiado con los artefactos culturales de reciente data, como el GeoGebra (Cenas et al., 2021). Esto corresponde con las
demandas de los planes de estudios actuales que sugieren a los profesores hacer
sus clases con algún software educativo. En línea con estas ideas, los planes
de formación de profesores deben propiciar actividades de este estilo que les
permitan conocer el trabajo geométrico que puede desarrollarse con software educativo.
En particular, la carrera de Pedagogía en Matemática y Física impartida por la
Universidad Arturo Prat contempla, en su plan de estudios, la asignatura
Geometría, donde una de sus unidades se orienta al estudio del saber sobre
construcciones geométricas. En el desarrollo de esta asignatura se tiene
previsto implementar la actividad que se describe en este manuscrito.
El aprendizaje de las construcciones euclidianas con geogebra como procesos de objetivación
La TO considera el
aprendizaje como el encuentro progresivo de los individuos con el saber
histórico y cultural (Radford, 2017a). De forma más
operativa, la TO define el aprendizaje como procesos de objetivación, es decir,
(…) procesos sociales, colectivos de toma de conciencia: toma
de conciencia progresiva y crítica, de un sistema de pensamiento y acción
cultural e históricamente constituido, sistema que gradualmente notamos, y que
al mismo tiempo dotamos de sentido. Los procesos de objetivación son aquellos
procesos de notar algo culturalmente significativo, algo que se revela a la
conciencia no pasivamente sino por medio de la actividad corpórea, sensible,
afectiva, emocional, artefactual y semiótica. (Radford,
2020, p. 22).
Para que un saber se convierta en objeto de conciencia para
el individuo, éste debe ser movilizado por medio de una actividad. La
actividad, en la TO, se conceptualiza como labor conjunta, en un esfuerzo de
diferenciar esta categoría humana de otras acepciones que son de tipo
funcionales y técnicas reducidas a un cúmulo de acciones para el logro de un
objetivo (Radford, 2020). De esta manera, la labor
conjunta es definida como “una forma de vida, algo orgánico y sistémico, un
evento creado por una búsqueda común –es decir una búsqueda con otros–de la
solución a un problema planteado, búsqueda que es al mismo tiempo cognitiva,
emocional y ética” (Radford, 2017b, p. 125).
Es así como la actividad formativa se caracteriza por ser la
labor conjunta que tiene lugar cuando formadores y futuros profesores de
matemática, se abocan a la resolución de problemas de construcciones
euclidianas. La toma de conciencia es un proceso de formación y trasformación
en la cual los sujetos se posicionan críticamente ante las formas codificadas
de pensar y actuar que ha sido constituidas histórico
y culturalmente, mediante un proceso de reflexión subjetiva y emocional de la
realidad concreta donde se encuentra del sujeto. (Raford,
2013, 2017b). Al respecto, la toma de conciencia de las construcciones
euclidianas con GeoGebra favorece el posicionamiento
crítico de los futuros profesores ante dicho saber.
El GeoGebra tal como se comentó
anteriormente, presenta el contenido conceptual por medio de herramientas y
funcionalidades que son portadores de conceptos que revelan el contenido
conceptual geométrico (constituido por la humanidad a lo largo de la historia),
a su vez brinda al usuario un sistema de representación y campo de exploración
que permite enriquecer la actividad y que en medios estáticos como lápiz y
papel son poco factibles (Sandoval y Moreno-Armella, 2012). Una característica
que tienen este software es que, en las representaciones de los objetos
geométricos, las propiedades o invariantes geométricas de estos objetos permanecen
inalterables cuando éstos se intentan deforman según el arrastre (Laborde,
1997). Esto permite que la imagen dinámica (sensorio-motriz) que se forma un
estudiante al hacer construcciones es distinta a la
que se forma con el uso de otras herramientas.
Por ejemplo, pensemos en dibujar un rectángulo en el software
GeoGebra. Para ello, lo primero es seleccionar la
herramienta ideal que permita la construcción, en este caso será “Polígono” la
cual sugiere al usuario una forma de construir esta figura para la cual el
software debe informar los vértices que la definen (Figura 1). De esta manera,
la herramienta Polígono tiene un concepto particular que se puede materializar
en la construcción del rectángulo. Además, como se muestra en la Figura 1, cada
herramienta y funcionalidad de GeoGebra tiene cierta
lógica de funcionamiento, en forma de condición que el usuario debe
proporcionar al software, condiciones que enfatizamos, no son neutrales ni
ingenuas, sino una parte fundamental del conocimiento matemático depositado
estas herramientas (Sandoval y Moreno-Armella, 2012).
Figura 1. Conceptualización
del polígono mediante la herramienta correspondiente. Fuente: Elaboración
propia (2020).
ELEMENTOS
DEL DISEÑO
Para la descripción de la actividad formativa, asumimos los
siguientes elementos que la estructuran (Radford,
2017a):
Objeto
y metas de la actividad formativa
Toda actividad de aprendizaje se
despliega en la dirección de su objeto, el cual “puede ser tanto material como
ideal, tanto dado en la percepción como existente solo en la imaginación, en el
pensamiento” (Leontiev, 1984, p. 82). Este objeto
responde siempre a una necesidad y debe ser identificado a priori por el
proyecto didáctico del profesor (Radford, 2006). En
el diseño, asumimos que la actividad formativa tiene por objeto el encuentro de
futuros profesores de matemáticas con determinados procedimientos de
construcción de figuras geométricas planas (p. e., puntos, segmentos, rectas,
semirrectas, ángulos, triángulos), usando el software GeoGebra,
los cuales constituyen el saber histórico y cultural que se espera sea
movilizado.
Para lograr este objeto, fue necesario
que el trabajo de los futuros profesores se orientara hacia aquellas acciones
que caracterizan el saber acerca de las construcciones geométricas con GeoGebra, a saber:
·
Construir el dibujo dinámico que dé
respuesta a la tarea propuesta.
·
Comunicar (en forma oral y/o escrita) el
procedimiento de construcción del dibujo dinámico.
·
Probar la consistencia geométrica de
este procedimiento.
Estas acciones se reconocen a partir de
la estructura de los problemas de construcción de figuras geométricas planas
con regla y compás, tal como aparece en determinadas fuentes históricas (ver
Figura 2).
Figura 2. Estructura de las
proposiciones. Fuente:
Tareas
En este diseño, las tareas de la
actividad formativa tienen el propósito guiar a los estudiantes hacia la
realización de las acciones anteriores. En ambientes de geometría dinámica,
Laborde (1997) denomina tareas de producción de Cabri-dibujos
a las tareas que demandan la construcción de:
(…) un dibujo en la pantalla que
conserve ciertas propiedades espaciales impuestas cuando se desplace uno de los
puntos básicos del dibujo. La tarea para el alumno consiste, por tanto, en
elaborar un procedimiento de producción del Cabri-dibujo,
basado en las primitivas geométricas disponibles. (Laborde, 1997, p. 42).
El contenido geométrico de cada tarea ha
sido definido a partir de determinados problemas elementales de construcción
con regla y compás (proposiciones), presentes en la obra Elementos de Euclides
(1991) y que hacen parte del programa de la asignatura Geometría, de la malla
curricular de la carrera de Pedagogía en Matemáticas y Física de la Universidad
Arturo Prat. Para la selección de las proposiciones, fueron recopilados los
problemas referidos a construcciones con regla y compas que aparecen en las
obras históricas de Euclides (traducción de Simson,
1774; Tosca, 1707), y dos textos de geometría (López, 2000; Moise
y Downs, 1989). Una vez, recopilados los problemas se
realizó la selección de ocho proposiciones que estaban presentes en todas las fuentes
consultadas.
Las proposiciones seleccionadas debían pasar
por un proceso de transformación a tareas de construcción que debían ser
resueltas en el GeoGebra. Este proceso de
transformación se realizó por etapas. En la etapa 1, se identificó los
elementos que componen el enunciado de la proposición original, estos son: la
hipótesis (exposición y objeto dado) y la tesis (objeto demandado). En la etapa
2, se realizó una adecuación de las partes del enunciado de la proposición al
español moderno, dada la antigüedad de las obras. En la etapa 3, se estableció
la relación entre los objetos dados y demandados en el enunciado de las
proposiciones con los objetos correspondientes en el software GeoGebra.
Para ilustrar esta etapa, la proposición
I.1 enuncia el siguiente problema “Sobre una recta dada, y terminada, construir
un triángulo equilátero” (Simson, 1774). En el
enunciado, el segmento se presenta como objeto dado, y el triángulo equilátero como
objeto demandado, con la indicación que los lados del triángulo sean del tamaño
de dicho segmento. La sintaxis del GeoGebra, para el
caso de los segmentos tiene al menos dos maneras de nombrarlo/rotularlo, bien
sea a través de sus extremos (
) o mediante una letra minúscula (
). Dicha característica permitió producir varias tareas de construcción
referidas a un mismo tipo de tarea. En la etapa 4, se redactó y refinó el
enunciado de cada tarea de construcción, a partir de los elementos identificados
en el software. En la figura 3, se ilustra este proceso con un caso particular
Figura 3. Primeras etapas del proceso de
adaptación de las proposiciones a tareas de construcción con GeoGebra.
En la etapa 5, se abocó a la elaboración
de las hojas de trabajo con GeoGebra para cada tarea
de construcción (ver Figura 4a). Y en la etapa 6, se realizó una hoja de
instrucciones para los futuros profesores (ver Figura 4b). En total se
realizaron once tareas de construcción.
Figura 4. Instrucciones y
hoja de trabajo ggb
Ejemplo
de la actividad formativa
La planificación de la actividad
formativa tuvo en cuenta un contexto no presencial de clases, en espacios
virtuales, debido a la pandemia COVID-19 (Cucinotta y
Vanelli, 2020). Se tuvo previsto que el desarrollo de
la actividad formativa se realizara durante varios encuentros, en cada uno de
los cuales se busca promover la labor conjunta entre la formadora (primera
autora de este manuscrito) y los futuros profesores en torno al saber acerca de
las construcciones euclidianas con GeoGebra. En un
primer momento de la actividad formativa (presentación de la tarea), la
formadora presenta las tareas de construcción (hoja de instrucciones) a los futuros
profesores y explica cómo se llevará a cabo el proceso de su resolución. En un
segundo momento (búsqueda de respuestas), los futuros profesores se abocan a
dar solución a las tareas de construcción, organizados grupos. En un tercer
momento (interacción con pequeños grupos), la formadora ingresa en cada sala
destinada para cada grupo, interactuando con los futuros profesores y
ofreciendo retroalimentación. Finalmente, en un cuarto momento (interacción con
todo el grupo), se realiza la interacción con todo el grupo para presentar las
soluciones de los futuros profesores. En este último momento de la actividad, se
espera que los futuros profesores, a partir de la presentación de un compañero,
puedan preguntar críticamente o hacer sugerencias de mejora a la respuesta de
la tarea. El encuentro, puede cerrar en este momento o pasar otro momento. En
la Figura 5 se presenta el ciclo:
Figura 5. Momentos del ciclo de la actividad.
Fuente: elaboración propia basado en Radford (2017b).
Una respuesta hipotética a la tarea que
se espera pudiera surgir de la actividad con los futuros profesores consiste en:
un análisis de la tarea de construcción presentada en la cual reconozcan el
objeto geométrico solicitado y las condiciones para su construcción. Considerando
que el artefacto a ser empleado para dar respuesta a la tarea tiene su propia
lógica de funcionamiento, se realiza un nuevo análisis, esta vez en función de cómo
se puede construir el objeto solicitado, es decir, pensar en la herramienta del
GeoGebra que permite dar respuesta a la tarea.
En este caso hipotético, la tarea que se
presenta es la siguiente: Construye un
triángulo equilátero cuyos lados sean del tamaño de (es
decir, 
) (Ver Figura 6-a). Para realizar la construcción de un triángulo, el GeoGebra promueve la conceptualización de esta figura plana
a través de herramienta Polígono,
cuyo uso implica conocer los vértices de la figura a construir. Determinar
éstos vértices constituye los pasos que posibilitan la representación del
objeto solicitado. Pero, ya que el polígono buscado es uno en particular, la
localización de esos vértices supone una secuencia de acciones que fijen las
invariantes geométricas, propias del triángulo equilátero.
Figura 6. Respuesta hipotética a la tarea.
Luego de realizar la construcción de la figura,
los futuros profesores deben asegurase de que el dibujo dinámico tiene
consistencia geométrica en el programa, lo que implica aplicar la prueba del
arrastre, esto es, intentar deformar el dibujo al seleccionar uno de los puntos
o elementos libres (Acosta, 2007; Arzarello et al.,
2002; Laborde, 1997). Seguidamente, los futuros profesores deben comunicar el
procedimiento de construcción que han empleado. En la Figura 6-b, se presenta
la comunicación escrita del procedimiento de construcción producido para
responder a la tarea. Después de comunicar el procedimiento, los futuros
profesores deben justificar desde la teoría geometría que las acciones
realizadas dan cuenta que el triángulo cumple las condiciones que la tarea les
impone. En la Figura 6-c, se presenta un discurso que prueba la consistencia
del proceso seguido, es decir, la justificación de cada uno de los vértices del
triángulo.
CONCLUSIONES
En el presente manuscrito se ha descrito el diseño de una
actividad formativa que busca favorecer el aprendizaje geométrico de los
futuros profesores de matemáticas por medio de construcciones euclidianas con GeoGebra. Para el diseño de esta actividad, se consideró
una perspectiva histórico-cultural del aprendizaje que presenta el saber cómo
posibilidad de pensamiento, la cual, se complementó con los elementos de la
teoría de la actividad (TA) de Leontiev. Al
concatenar los elementos presentes en cada uno de los constructos de la TO y la
TA, emergieron las componentes de la actividad. Estas componentes, permitirán
la movilización de los saberes geométricos sobre construcción
euclidianas con GeoGebra.
Las componentes de la actividad formativa, contempla una
serie de momentos que en su conjunto contribuyen a la movilización del saber en
atención a la resolución de las tareas de construcción geométrica con el GeoGebra. En los momentos de la actividad, se espera los
futuros profesores sean capaces de (i) realizar la construcción del dibujo
dinámico como respuesta a la tarea, (ii) comuniquen el procedimiento empleado
para la construcción del dibujo dinámico y (iii) argumentar la consistencia del
dibujo geométrico producido, así como, aportar a las posibles respuestas de sus
compañeros de forma crítica y responsable. Todo lo anterior, se orienta a que
los futuros profesores se hagan conscientes de la conceptualidad
que se promueve con el uso del GeoGebra. Al respecto
el estudio de Sandoval y Moreno-Armella (2012) plantea que las tecnologías
digitales no son tan solo un soporte externo de la cognición, sino que se
integran a ella y la transforman, en este orden de ideas con el EA diseñado se
pretende que el ADs, permita sea más que un simple
amplificador, si no que este sea parte consustancial del pensamiento. A modo de
ejemplo, se presentó una respuesta hipotética en la cual se transita los
momentos de la actividad, y lo que se espera de los futuros profesores. Una vez
implementado el EA, emergerán nuevas investigaciones y refinamientos para la
AE.
RECONOCIMIENTO.
El presente manuscrito, cuenta con financiamiento del Proyecto
de Investigación (Decreto Exento 1238) “El rol de los artefactos digitales en
la formación en geometría de profesores de matemáticas de la región de
Tarapacá” de la Facultad de Ciencias Humanas de la Universidad Arturo Prat.
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